Suo padre era un italo-scozzese la cui famiglia proveniva da un piccolo villaggio del Lazio mentre la madre era originaria di Leeds. Nel corso della sua carriera Minghella ha spesso ricordato le sue origini dimostrando particolare simpatia per l'Italia e gli italiani. Ha frequentato la Sandown Grammar School e il St John's College prima di laurearsi all'Università di Hull. Nella stessa università in cui si è laureato ha insegnato come assistente e contemporaneamente ha iniziato a occuparsi della scrittura di alcune sceneggiature soprattutto per il teatro. Nel 1984 è stato nominato miglior drammaturgo dell'anno dai London Theatre Critics. Commediografo e sceneggiatore ormai affermato, durante tutti gli anni Ottanta lavora alla realizzazione di serie televisive, tra le quali spiccano Grange Hill e The Storyteller, entrambe trasmesse dalla BBC. Non manca di continuare ad approfondire il suo amore per la musica e per il piano, passione che non lo abbandonerà mai durante tutta la sua carriera registica.
Il suo esordio al cinema avviene nel 1991 quando dirige Il fantasma innamorato, una sceneggiatura concepita per la televisione, sorta di Ghost in versione sofisticata interpretato da Alan Rickman e Juliet Stevenson. Il film riscosse un discreto successo solo in Inghilterra e in Australia (dove venne nominato miglior film dell'anno) ma fece moltissima fatica a imporsi sul mercato internazionale: eppure, col senno di poi, rappresentò il trampolino di lancio per la carriera del regista. Nel 1993 dirige Matt Dillon, Annabella Sciorra e William Hurt in Mister Wonderful, prima produzione statunitense del regista.
Il film è una commedia in cui un giovane elettricista aiuta l'ex moglie a trovarsi un nuovo marito dato che non ha i soldi per mantenerla. Mister Wonderful ottiene un discreto successo di critica e di pubblico e permette a Minghella di perfezionare il suo stile e di adattarlo alle esigenze produttive a stelle e strisce: nei tre anni successivi lavorerà su un progetto ambizioso e sfiancante, la trasposizione cinematografica del romanzo di Michael Ondaatje "Il paziente inglese". Solo il lavoro di adattamento e di scrittura della sceneggiatura costa al regista quasi un anno e mezzo di isolamento. Le riprese, divise fra deserto e Toscana durano quasi un anno ma tutto questo sforzo verrà ripagato dall'Academy: Il paziente inglese otterrà ben dodici Nomination aggiudicandosene nove, tra cui miglior film e miglior regia. Per Minghella, vincitore anche del Golden Globe, è la consacrazione definitiva. La storia è ambientata in Toscana verso la fine della seconda guerra mondiale: Hana, infermiera canadese innamorata di un artificiere indiano, si ferma in un casolare per accudire un misterioso inglese dal viso sfigurato di cui si rievoca attraverso un flashback l'illegittima e tragica passione per Katharine, conosciuta in Egitto durante una missione per il governo britannico. Il paziente inglese ha tutti i pregi e i difetti di una produzione di queste dimensioni e di un film che sfiora le tre ore: la tecnica del regista è indiscutibile, la resa visiva è decisamente affascinante e le sequenze girate nel deserto trasmettono un profondo senso di magia e di mistero. La storia tuttavia risulta macchinosa, a fatica riesce a mixare l'intimismo e i drammi personali dei personaggi con il fragore degli eventi storici che li circondano. Ciononostante il senso epico che la pellicola riesce a trasmettere colloca Minghella nel solco di quei registi capaci di osare con dei melodrammi destinati a restare incastonati nella storia di Hollywood, si pensi al David Lean de Il Dottor Zivago o di Lawrence d'Arabia. In due piccole parti del film recitano anche Eddie e Gloria, i genitori del regista; inoltre Minghella ha utilizzato anche dei filmati del suo luogo natale, l'isola di Wight, per mostrare le immagini dei combattimenti e della guerra.
Nel 1999, forte del successo de Il Paziente inglese, scrittura un cast d'eccezione (Matt Damon, Gwyneth Paltrow, Jude Law e Cate Blanchett) e porta sullo schermo il primo romanzo della serie di Patricia Highsmith su Ripley (già portato sullo schermo nel 1959 da Renè Clement in Delitto in pieno sole) per Il talento di Mister Ripley. Negli Stati Uniti degli anni Cinquanta, il giovane Tom Ripley conosce il padre di Dickie, un ragazzo ricco e viziato partito per l'Italia senza dare più sue notizie. Il padre incarica Tom di recarsi sul posto edi fare di tutto per riportargli il figlio. In Italia Tom trova Dickie e scopre il suo spensierato modo di vivere tra Ischia, Capri, il mare, le gite e la fidanzata Margie. Ben presto Tom dimentica lo scopo del suo viaggio e diventa il compagno inseparabile di Dickie fino a quando, un giorno, a Sanremo, Dickie si stanca di Tom e in barca gli urla di andarsene. E allora inizia la seconda vita di Tom Ripley: non solo colpisce e uccide Dickie ma ne prende i soldi e l'identità. E da quel momento per Tom/Dickie non resterà che uccidere tutte le persone che metteranno in dubbio la sua identità sospettando i suoi crimini. Per descrivere le complesse vicende del film Minghella realizza una prima parte solare e riuscita, per virare poi verso toni più cupi. Lo stile è nuovamente quello dei melodrammi degli anni Cinquanta con la musica d'epoca a fare da contrappunto ironico o drammatico agli splendidi scenari di Ischia e Procida. L'unico problema è che il film ha l'ambizione di essere un thriller eppure non riesce a trasmettere nessun tipo di suspense, è troppo freddo e calcolato per essere davvero appassionante. Il cast è stato completato scegliendo molti comprimari italiani: da Sergio Rubini a Ivano Marescotti da Stefania Rocca fino a Fiorello che accompagna Matt Damon e Jude Law al karaoke sulle note di "Tu vo fa' l'americano" di Carosone.
Dal 2001 Minghella inizia a lavorare sul romanzo di Charles Frazier "Ritorno a Cold Mountain", pellicola che uscirà nelle sale solo quattro anni dopo. Durante la Guerra Civile americana, Inman, un soldato confederato ferito, intraprende un pericoloso viaggio di ritorno a Cold Mountain, suo paese d'origine, e riabbracciare così Ada, la donna di cui è innamorato e da cui la guerra lo ha separato. Nel frattempo Ada, dopo la morte del padre, ha imparato a condurre la fattoria di famiglia insieme alla giovane e selvaggia Ruby. Ritorno a Cold Mountain è un film uniforme e non accusa scompensi, acquista in ritmo e scioltezza, elimina zone morte e solo raramente cede a situazioni prevedibili e convenzionali. Minghella realizza probabilmente la sua opera migliore per forza e capacità di non soffocare i contenuti e per una volta anche la critica pare non averlo bistrattato. Il film valse a Renee Zellweger l'Oscar come migliore attrice non protagonista e il Golden Globe.
Anthony Minghella è attualmente il presidente del British Film Institute. È stato recentemente criticato per via di un suo comportamento contraddittorio: è stato uno dei promotori del film del musicista Michael Franti I know I'm not alone, incursione in Iraq, Palestina e Israele per lottare contro la guerra e per il mantenimento della pace ed è poi stato l'organizzatore del convegno del Partito Laburista del 2005, partito al cui comando siede Tony Blair, un politico che ha impegnato le Forze armate britanniche in quattro guerre, in Kosovo, Sierra Leone, Afghanistan ed Iraq. Sempre nel 2005 ha debuttato all'opera a Londra come regista della "Madama Butterfly" di Puccini. È attualmente sposato con una coreografa hongkonghese mentre la sua famiglia si è ormai installata nel mondo dello spettacolo: suo fratello Dominic è un soggettista e sceneggiatore, suo figlio Max è un attore, sua sorella Edana è una delle organizzatrici del Jazz Festival dell'isola di Wight.
Nel 2006 ritrova nuovamente Jude Law ed esce nei cinema la sua ultima fatica, Complicità e sospetti. Nella Londra di oggi, Will e il suo amico Sandy dirigono un apprezzato studio di architettura. Il loro modernissimo ufficio attira ripetutamente l'attenzione di una banda di ladri del posto finché Will, stufo dell'ennesimo furto, decide di seguire uno dei giovani della gang, Miro, fino all'appartamento che divide con la madre Amira, rifugiata bosniaca. Minghella abbandona le pretese letterarie e scrive la sceneggiatura senza poggiarsi su nessun romanzo: il risultato è tutt'altro che brillante e questa volta non solo la critica non lo risparmia ma anche il pubblico sembra per una volta avergli voltato le spalle. La sceneggiatura risulta sfilacciata e soprattutto i dialoghi sono del tutto fuori luogo. Minghella resta un regista decisamente a suo agio all'interno di progetti colossali con referenti letterari ed è sicuramente in grado di creare uno spettacolo gradevole: i problemi nascono quando cerca di avvicinarsi all'intimità dei personaggi, a quella zona dell'animo umano che spesso, anche se solo sfiorata, permette a un bel film di diventare un capolavoro.