Negli anni '80 era il bassista degli Spandau Ballet, una delle band più note del movimento new romantic, insieme ai diretti rivali Duran Duran. La sua passione per la recitazione però lo aveva già portato a lavorare a teatro e in seguito a prendere parte alla mini serie televisiva "The Glittering Prizes" (1976) ambientata a Cambridge nei primi anni '50.
Finita l'avventura musicale Martin e il fratello Gary Kemp (con lui nelle fila della band) interpretano i due gemelli gangster protagonisti del film The Krays - I Corvi ottenendo il favore della critica. Dopo il successo della pellicola, Martin diventa ancora più famoso nei panni del cattivo Steve Owen nella soap opera più seguita della BBC, "EastEnders" (1998 - 2002).
Noto principalmente per i suoi ruoli televisivi, Martin Kemp non ha mai disdegnato il cinema, interpretando Digby Olsen in The Girl Who Came Late al fianco di Miranda Otto e il Barone Von Frankenstein in Waxwork 2 - Scomparsi nel tempo; ottiene anche una particina nel thriller L'ultimo desiderio di Rodney McDonald e ruoli da protagonista in film poco noti in Italia (Fleshtone, Embrace of the Vampire, Boca, Cyber Bandits).
Recentemente è tornato a lavorare per il cinema con il regista Chris Munro nella pellicola Back in Business e con l'esperto di effetti speciali Bob Keen nell'horror Rogue in uscita nel 2007. Martin Kemp è sposato con l'ex corista degli Wham! Shirlie Holliman, celebre anche per aver fondato il duo femminile Pepsi and Shirlie, e madre dei due figli del musicista/attore Harley Moon, avuta nel 1989, e Roman, nato nel 1993.